.

МЕСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ВНЕЦЕНТРЕННО СЖАТЫХ ТОНКОСТЕННЫХ НЕСОВЕРШЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ КОРОБЧАТОГО ПРОФИЛЯ

Ильяшенко А.В. – Доцент кафедры «Строительная механика»
Московского государственного строительного университета,
кандидат технических наук


Суть методики расчёта центрально сжатых неидеальных стержней прямоугольного профиля в критическом и закритическом состояниях изложена в работах [1-4], где в качестве расчётного метода использован один из наиболее общих энергетических принципов строительной механики – принцип возможных перемещений. В указанных публикациях приведены аппроксимирующие функции начальных и приобретённых прогибов пластинчатых элементов профиля, а также формулы для определения виртуальных работ (δТ*kj) всех внешних и внутренних усилий на возможных перемещениях для пластинок с двумя упруго защемлёнными ненагруженными гранями. Из набора четырёх таких пластин-стенок можно составить стержень прямоугольного профиля. Короткие нагруженные грани пластинок опёрты шарнирно (см.рисунок).

Napryazhyonnoe_sostoyanie_vnecentrenno_szhatoj_plastinki-stenki

Напряжённое состояние внецентренно сжатой пластинки-стенки

В [3] представлены системы разрешающих уравнений, включающих вариационные уравнения принципа возможных перемещений и необходимые граничные условия для центрально сжатых начально искривлённых коробчатых профилей. Решение таких систем позволяет полностью описать послекритическое состояние элементов стержня при любом уровне закритической нагрузки.

В данной работе покажем алгоритм расчёта сжатого начально искривлённого стержня прямоугольного профиля, находящегося под действием внецентренной нагрузки. Для этого рассмотрим участок в середине по длине профиля (поскольку здесь появляются наибольшие по величине эксцентриситеты ех, еу приложения нагрузки, превышающие опорные за счёт искривления оси стержня), но с поперечным сечением, равным самому ослабленному местной потерей устойчивости (участок с наибольшими по амплитуде стрелками начальных погибей пластинок стержня). При этом полагается, что радиус кривизны изогнутой вследствие внецентренного действия нагрузки оси профиля достаточно велик и в пределах отрезка стержня длиной ℓ (где ℓ – длина образовавшейся в результате выпучивания начально искривлённых пластинок профиля продольной полуволны) рёбра остаются прямолинейными.

В момент местной потери устойчивости стержня, имеющего предварительную погибь, наиболее слабая пластинка выпучивается, остальные деформируются за счёт влияния моментов вдоль линий контакта пластинчатых элементов стержня. Возникающие в начальный момент выпучивания дополнительные прогибы точек срединных поверхностей хотя не равны нулю, но практически настолько малы, что можно пренебречь квадратами, кубами и смешанными произведениями стрелок составляющих приобретённых прогибов.

С учётом указанных обстоятельств длина полуволны ℓ и величина критической силы местной устойчивости рмкр определяются с помощью вышеуказанной системы разрешающих уравнений [3]. При этом вводится простой закон распределения напряжений σkx до момента местной потери устойчивости (см. рисунок):

σkx = -p(hнk + hкk)/2 – p(hкk – hнk)y/s,                                 (1)

где    р – среднее сжимающее напряжение в сечении стержня, определяемое выражением

р = Р/Fсеч,                                                     (2)

где    Р – внецентренно сжимающая сила;
Fсеч – площадь поперечного сечения стержня;
hнk, hкk – безразмерные коэффициенты, определяемые отношением напряжений соответственно на начальной и конечной гранях k-го пластинчатого элемента профиля (по формулам сопротивления материалов для внецентренно сжатого стержня с недеформируемым профилем) к среднему сжимающему напряжению р;
s – ширина пластинки.

Учитывая, что в начальный момент местной потери устойчивости составляющие виртуальных работ δТ*kj, содержащие постоянные интегрирования Аk2, Ak3, Ak4, Ak5, весьма малы, принимаем последние равными нулю. Тогда, исходя из формул для напряжений σkx [4], последние в докритическом диапазоне определяются зависимостью

σkx = -Ak1 — Ak6 y.                                               (3)

Сравнивая выражения (1) и (3), получаем для k-й пластинки-стенки

Аk1 = p(hнk + hкk)/2;     Ak6 = p(hкk – hнk)/s.                           (4)

Полагается, что выражение (4) справедливо и для начального момента локальной потери устойчивости. В результате несложных преобразований получим формулы для определения сумм работ всех внутренних и внешних усилий во внецентренно сжатой начально деформированной пластинке-стенке на бесконечно малых возможных перемещениях. Для сокращения выкладок введём следующие обозначения:

δТ**kj = δT*kj — Kkj,                                                 (5)

где    δТ*kj (j=1,2,3) – виртуальная работа внутренних и внешних усилий k-ой пластинки на возможном перемещении (δW)j в момент местной потери устойчивости при центральном сжатии стержня;
Кkj – сумма всех членов, содержащих параметр р в δТ*kj [3].

Тогда виртуальные работы δT*ekj в начально искривлённой пластинке-стенке профиля, испытывающего внецентренное сжатие, представляются следующими выражениями:

Virtualnye_raboty

где    s и tk – соответственно ширина и толщина k-й пластинки;
fkj (j = 1,2,3) – стрелки составляющих приобретённого прогиба пластинки стержня [1-4];

h′k = (hкk — hнk); hk = (hкk + hнk).

Таким образом, получаем систему вариационных уравнений, описывающих критическое состояние внецентренно нагруженного несовершенного тонкостенного стержня коробчатого профиля, составленного из пластинок-стенок. Для этого в одноимённой системе уравнений, записанной для случая центрального сжатия [3], изменим δТkj на δТ*ekj :

Sistema_variacionnyx_uravnenij

i = 1,2,…, n.

Выразив с помощью граничных условий стрелки составляющих приобретённых прогибов для всех пластинок профиля через соответствующие параметры основной пластинки (функция дополнительных прогибов которой содержит наибольшее число членов), то есть через fa1, fa2,…, fan, и определив значение частных производных типа ∂fkj/∂fai, получим систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных fa1,fa2,…, fan. В соответствии с числом стрелок fai главный определитель этой системы раскрывается соответственно в кубическое (i =1,2, 3) уравнение относительно параметра р. Варьируя величину ℓ, также входящую в полученное уравнение, находим из последнего наименьшее значение параметра нагрузки рмкр, а значит, и соответствующую ему величину продольной полуволны ℓ. Критическая сила локальной потери устойчивости вычисляется по формуле

Рмкр = рмкр Fсеч.

Библиографический список
  1. Ильяшенко А.В., Ефимов И.Б. Экспериментальное исследование тонкостенных стержней с искривлёнными пластинчатыми элементами // Организация и производство строительных работ. – М.: Центр.Бюро н.-т. информации Минпромстроя, 1983. – С.3-38.
  2. Ильяшенко А.В. О расчёте сжатых гибких пластинок с упруго защемлёнными продольными ненагруженными гранями, имеющих начальную погибь // Строительные конструкции и материалы. – Уфа: Тр. НИИпромстроя, 1983. – С. 86-98.
  3. Ильяшенко А.В. Задача о закритическом состоянии сжатых тонкостенных стержней коробчатого профиля, имеющих начальную погибь.// Строительные конструкции и материалы. – Уфа: Тр. НИИпромстроя, 1983. – С. 99-108.
  4. Ильяшенко А.В., Ефимов И.Б. Напряжённо-деформированное состояние после местной потери устойчивости сжатых тонкостенных стержней с учётом начальной погиби.// Строительные конструкции и материалы. Защита от коррозии. – Уфа: Тр. НИИпромстроя, 1981. – С. 110-119.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.