.

ИЗГИБ ПОЛОСЫ СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ УСИЛИЙ В СРЕДИННОЙ ПЛОСКОСТИ

Леонтьев А.Н. – Профессор кафедры «Испытания сооружений» Московского государственного строительного университета,
кандидат технических наук

Бен Хелал Монсеф – Аспирант кафедры «Испытания сооружений»
Московского государственного строительного университета

Вагиалла Хасан Ахмед Мохаммед – Аспирант кафедры «Испытания
сооружений» Московского государственного
строительного университета


Напряженное и деформированное состояние плиты средней толщины при ее изгибе от действия поперечной нагрузки описывается, как известно [1], уравнениями:

Napryazhennoe_i_deformirovannoe_sostoyanie_plity_srednej_tolshhiny_pri_ee_izgibe

где    G – модуль упругости второго рода материала плиты;
D, h, v – соответственно ее цилиндрическая жесткость, толщина и коэффициент Пуассона.

Искомые функции t(x,y), связаны с прогибом w(x,y) и углами поворота tx(x,y), ty(x,y) выражениями:

Svyaz_iskomyx_funkcii_s_progibom_i_uglami_povorota

Yavlyayutsya_spravedlivymi_zavisimosti

В случае учета, кроме поперечной нагрузки q(x,y), сил Nx, Ny, Nxy=Nyx, действующих в срединной плоскости плиты (рис.1), второе из уравнений (1) остается неизменным, а к первому должны быть добавлены проекции этих сил на ось Оz, возникающие за счет изгиба плиты. Заметим, что эти силы связаны между собой уравнениями равновесия:

Uravneniya_ravnovesiya

Sredinnaya_ploskosti_plity

Спроецируем силы Nx, Ny, Nxy=Nyx и их приращения на вертикальную ось. Тогда первое из уравнений (1) с учетом выражений (3) – (5) можно записать в виде:

Izgib_polosy_srednej_tolshhiny 6

Будем считать, что продольные края рассматриваемой плиты шарнирно оперты (рис.2). При этом искомые функций могут быть представлены в виде:

Iskomye_funkcii

Подставляя разложение (7) в уравнение (6), в силу ортогональности тригонометрических функций для каждого номера n получим обыкновенное дифференциальное уравнение четвертого порядка, которое при действии только продольных сил Nx запишется в виде:

Uravneniya_v_standartnoj_forme_dlya_zadachi_ob_izgibe_balki_na_uprugom_osnovanii

Prodolnye_kraya_rassmatrivaemoj_plity_sharnirno_operty

В зависимости от соотношения величин коэффициентов rn и sn определяется вид корней соответствующего характеристического уравнения и, следовательно, вид частных интегралов, составляющих его решение.

Рассмотрим вначале случай загружения плиты силами Ny, равномерно распределенными по ее продольным краям (см. рис.2). Из сопоставления уравнений (10) и (11) можно видеть, что коэффициентами уравнения (11) в этом случае будут величины:

Korni_xarakteristicheskogo_uravneniya_opredelyayutsya_formulami

Obshhee_reshenie_differencialnogo_uravneniya

Koefficienty_uravneniya_v_sluchae_zagruzheniya_plity

Рассмотрим теперь задачу об изгибе полубесконечной плиты, загруженной в начальном сечении поперечной нагрузкой q(y) и продольными сжимающими силами Ny, равномерно распределенными по продольным краям (см. рис.2).

В этом случае, если заданная поперечная нагрузка представлена выражением qy=cosβy, где β=π/b, то уже один первый член разложения (7) будет представлять точное решение, в результате чего индекс n всюду может быть опущен. Учитывая бесконечную протяженность плиты, решение уравнения (11) можно представить в виде:

 Reshenie_uravneniya_s_uchetom_beskonechnoj_protyazhennosti_plity
Для полного решения задачи об изгибе плиты средней толщины к выражению (19) необходимо добавить еще интеграл второго из уравнений (1), который с учетом разложения (8) и бесконечности плиты может быть записан в виде:

Integral_vtorogo_iz_uravnenij

Для определения трех постоянных интегрирования C1, C2, D1 в начальном сечении (x = 0) могут быть сформулированы следующие граничные условия:

Granichnye_usloviya

Раскрывая эти условия при помощи выражений (19) и (20), получим систему трех алгебраических уравнений:

Sistema_trex_algebraicheskix_uravnenij

Рассматривая ту же задачу при наличии растягивающих сил Ny, решение (15) можно записать в виде:

Izgib_polosy_srednej_tolshhiny 23

Для определения постоянных интегрирования граничные условия (21) и выражения (20) и (23) позволяют записать следующие уравнения:

Izgib_polosy_srednej_tolshhiny 24

После решения систем уравнений (22) и (24) и нахождения постоянных C1, C2, D1 все расчетные величины определяются по формулам теории изгиба пластинок средней толщины [1]. Так например, прогиб плиты w(x,y) и изгибающий момент My(x,y) определяются в виде:

Progib_plity_i_izgibayushhij_moment

(23) при растяжении.т величины безразмерных продольных усилий N̄y= Nyb2/D. Сплошные линии 1 и 2 относятся здесь, соответственно, к случаям сжатия и растяжения плиты средней толщины при h/b = 0,2 и  = 0,2, а пунктирные линии 3 и 4 – к случаям сжатия и растяжения тонкой плиты.

где входящая в (25) и (26) функция W(x) имеет вид (19) при сжатии плиты и вид (23) при растяжении.

На рис.3 и рис.4 приведены кривые, показывающие зависимость величины прогиба w(0) и изгибающего момента My(0) в середине загруженного края плиты от величины безразмерных продольных усилий Ny= Nyb2/D. Сплошные линии 1 и 2 относятся здесь, соответственно, к случаям сжатия и растяжения плиты средней толщины при h/b = 0,2 и  = 0,2, а пунктирные линии 3 и 4 – к случаям сжатия и растяжения тонкой плиты.

Krivaya_zavisimosti_velichiny_progiba_ot_velichiny_bezrazmernyx_prodolnyx_usilij

Krivaya_zavisimosti_izgibayushhego_momenta_ot_velichiny_bezrazmernyx_prodolnyx_usilij

Можно видеть, что увеличение продольных усилий Ny приводит к существенному изменению значений прогиба и изгибающих моментов: увеличению при сжатии и уменьшению при растяжении. При этом в процентном отношении прогибы изменяются более интенсивно, чем изгибающие моменты. Следует отметить также, что влияние продольных усилий на прогибы плиты средней толщины оказывается несколько большим, чем на прогибы тонкой плиты и большим при сжатии, чем при растяжении. При этом линии 1 и 3, близкие к прямым при малых значениях Ny, становятся криволинейными с тенденцией к резкому возрастанию при увеличении Ny и приближением их значений к критическим.

Библиографический список
  1. Власов Б.Ф. Уравнения изгиба плит средней толщины // Теоретические и экспериментальные исследования прочности и жесткости элементов строительных конструкций. – М.: МИСИ, 1989.
  2. Габбасов Р.Ф., Филатов В.В. Расчет сжато-изогнутых пластин при неполном контакте с упругим основанием // Сб. трудов МГСУ. – М., 1999.
  3. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. – М.: Наука, 1966.
  4. Турганбаев А.Т. Изгиб прямоугольной плиты, лежащей на упругом основании Винклера с учетом влияния продольных усилий // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1993, №3.

 

 

от величины безразмерных продольных усилий N̄y= Nyb2/D. Сплошные линии 1 и 2 относятся здесь, соответственно, к случаям сжатия и растяжения плиты средней толщины при h/b = 0,2 и  = 0,2, а пунктирные линии 3 и 4 – к случаям сжатия и растяжения тонкой плиты.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.