РЕАЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ДЕФОРМАЦИОННОЙ МОДЕЛИ ПРИ РАСЧЕТЕ ПРОЧНОСТИ ТРУБОБЕТОННЫХ КОЛОНН

Кришан Анатолий Леонидович – Заведующий кафедрой
«Строительные конструкции» ГОУ ВПО «Магнитогорский
государственный технический университет им. Г.И. Носова»,
кандидат технических наук, доцент

Сагадатов Азат Ирекович – Старший преподаватель кафедры
«Строительные конструкции» ГОУ ВПО «Магнитогорский
государственный технический университет им. Г.И. Носова»,
кандидат технических наук

Мельничук Александр Станиславович – Преподаватель кафедры
«Строительные конструкции» ГОУ ВПО «Магнитогорский
государственный технический университет им. Г.И. Носова»

 

---

Трубобетонные колонны (ТБК) очень эффективно используются в качестве сильно нагруженных несущих элементов и обеспечивают высокую безопасность зданий и сооружений [3]. Широкое применение трубобетонных колонн (ТБК) в нашей стране сдерживается отсутствием отечественных норм по их проектированию и расчету. Несмотря на весьма обстоятельные исследования в этой области, надо признать, что до сих пор нет надежной и приемлемой для практического использования расчетной модели трубобетонного сечения в предельном состоянии, адекватно отражающей его специфические особенности. Это и неудивительно, принимая во внимание серьезные и многочисленные трудности, обусловленные сложностью самой системы “бетонное ядро — стальная оболочка”, работающей в условиях объемного сжатия (рис.1), и сложностью описания процессов перераспределения усилий между компонентами системы в этих условиях. По этой причине до сих пор актуален вопрос об установлении четкого критерия, соответствующего наступлению первого предельного состояния ТБК. В этой связи можно полагать, что дальнейшие исследования в этой области необходимы, полезны и перспективны.

Анализ данных многочисленных экспериментальных исследований позволил принять следующий критерий предельного состояния центрально сжатого трубобетонного элемента. Предельное состояние наступает при выполнении следующих условий:

• достижение нормальными напряжениями осевого направления в бетоне ядра значения прочности бетона при трехосном сжатии s_bz = R_b3;
• достижение интенсивности напряжений в наиболее сжатом волокне стальной оболочки физического или условного предела текучести s_pi = s_p,y;
• достижение нормальными напряжениями осевого направления в наиболее растянутом волокне стальной оболочки предела текучести s_pz= s_p,y.

Учитывая внутреннюю статическую неопределимость трубобетонной конструкции первое условие наступления предельного состояния должно выполняться совместно со вторым или третьим.

C целью обеспечения эксплуатационной пригодности ТБК при действии на нее расчетных нагрузок величины деформаций стальной оболочки (в наиболее сжатом волокне – интенсивность деформаций e_pi, в наиболее растянутом волокне – осевая деформация e_pz), совместно с осевыми деформациями бетонного ядра e_bz, должны ограничиваться соответствующими значениями.

В связи с этим расчет прочности нормальных сечений ТБК в общем случае внецентренного сжатия следует производить на основе нелинейной деформационной модели железобетона с учетом особенностей деформирования бетонного ядра и стальной оболочки в условиях объемного напряженного состояния. Для более точного расчета также следует учитывать неупругие деформации материалов и изменение коэффициентов поперечных деформаций в бетонном ядре и стальной оболочке по мере роста уровня напряжений.

Переход от эпюры напряжений в бетоне и стальной обойме к обобщенным внутренним усилиям производят с использованием процедуры численного интегрирования напряжений по нормальному сечению. Для этого нормальное сечение условно разбивают на малые участки (рис.2) с площадями бетона A_bi и стальной оболочки A_pk, в пределах которых напряжения принимают равномерно распределенными (усредненными).

Общую систему физических соотношений для расчета нормальных сечений ТБК по прочности, как и в традиционной деформационной модели [8], получают из совместного рассмотрения:

• уравнений равновесия внешних сил и внутренних усилий в нормальном сечении элемента;
• уравнений, устанавливающих распределение осевых деформаций в бетоне и арматуре по нормальному сечению, исходя из условия плоского поворота и плоского смещения сечения;
• зависимостей, связывающих напряжения и относительные продольные деформации бетона, стальной обоймы и продольной арматуры.

Основной особенностью расчета сжатых трубобетонных элементов является отсутствие исходных диаграмм для бетона и металла, работающих в условиях неоднородного напряженного состояния. В связи с этим расчет нормальных сечений ТБК по прочности выполняют в два этапа. На первом этапе расчетным путем определяют зависимости между напряжениями и деформациями осевого направления в бетонном ядре и стальной оболочке «s_bz — ε_bz» и «s_рz – ε_рz» при кратковременном действии на трубобетонный элемент осевой сжимающей нагрузки. В рассматриваемой конструкции бетонное ядро и стальная оболочка работают в условиях неоднородного напряженного состояния, поэтому вопросам установления указанных аналитических зависимостей следует уделить особое внимание.

В центрально сжатых трубобетонных элементах, имеющих круглую или кольцевую форму поперечного сечения, через каждую точку тела перпендикулярно продольной оси условно можно провести плоскость изотропии. В этой связи можно использовать основные уравнения и допущения трансверсально-изотропной модели бетона, принятой в работе [4].

Система уравнений, описывающих связь между напряжениями и деформациями в осевом (индекс «z») и радиальном (индекс «r») для любой точки трансверсально-изотропного бетонного ядра в упругой и упруго-пластической стадиях, имеет следующий вид:

где   E_b – начальный модуль упругости бетона.

Учет неупругих свойств объемно сжатого бетонного ядра производится путем использования в расчете прочности переменных коэффициентов упругости ν_bj(j = z, r, i) и поперечной деформации m_zr , m_rr бетона.

Текущие значения коэффициентов поперечной деформации бетона продольного и радиального направлений m_jr (j = z, r), находятся по известной [5] формуле

где   η_bi – уровень интенсивности напряжений в бетонном ядре;

m_b = 0,18÷0,25 – коэффициент Пуассона для бетона (при отсутствии точных данных рекомендуется принимать m_b = 0,2;

m_jr,u – предельное значение коэффициента поперечной деформации m_jr для бетона,

Значение параметра c_jr , предложенного Н.И.Карпенко для учета того обстоятельства, что в состоянии неравномерного трехосного сжатия коэффициенты m_jr по главным направлениям могут существенно различаться, применительно к ТБК вычисляется по формуле

где   s = -1 – для тяжелого бетона;

s = -2 – для мелкозернистого бетона;

k₀ – коэффициент, определяемый по формуле (19).

Для вычисления коэффициента упругости бетона можно принимать любые известные зависимости, обеспечивающие достаточную точность оценки напряженно-деформированного состояния конструкции, например предложенную в работе [5]:

где   η_bj – уровень напряжений в бетонном ядре по направлению j;

ν_0j, ν_bju – значения коэффициента упругости в базовых точках диаграммы;

ω_1bj, ω_2bj – коэффициенты, характеризующие кривизну соответствующей диаграммы, причем

ω_2bj = 1 – ω_1bj.                                             (6)

При расчете ТБК круглого сечения параметры зависимости (5) для вычисления коэффициента упругости бетона определяют с учетом неоднородного напряженного состояния бетона и сложного режима загружения по формулам:

• для восходящей ветви диаграммы в формуле (3) принимают знак «+» и

ν_0j = 1;                       ω_1bj = 2 – 2,05 ν_bju;                    (8)

• для нисходящей ветви диаграммы в формуле (5) принимают знак «-» и

ν_0j = 2,05 ν_bju;             ω_1bj = 1,95 ν_bju – 0,138;                   (9)

где   ν_bju – значения ν_bj в вершинах соответствующих диаграмм «s_bj – ε_bj», определяемые из выражения

Для определения напряжений в вершинах диаграмм «-» предлагаются следующие формулы:

где   m – уровень бокового обжатия бетона в предельном состоянии;

k – коэффициент бокового давления.

Установлено, что применительно к ТБК значение k зависит от конструктивного коэффициента трубобетона r и может быть вычислено по формуле

k = 7 – 1,2r,                                           (13)

в которой

где   A, R_b, A_p, R_s,p – площади поперечного сечения и расчетные сопротивления бетонного ядра и стальной оболочки.

Для определения уровня бокового обжатия m предлагается следующая формула

в которой n = b(k – 0,5) при значении коэффициента b = 0,096 (для тяжелого бетона).

Для осевого и трансверсального направлений величины коэффициентов упругости ν_bju, определяющих значения диагональных деформаций (деформации главной диагонали, вычисленные без учета влияния коэффицинтов поперечной деформации), находятся в зависимости от напряжений s_bzu, s_bru и предельных деформаций ε^d_bzu, ε^d_bru.

Данные деформации находят в зависимости от полных относительных деформаций ε_bzu и ε_bru, соответствующих выходу напряжений на поверхность прочности и связанных с диагональными следующими зависимостями, вытекающими из системы (1):

Предельные полные деформации осевого направления ε_bzu рекомендуется вычислять по формуле

ε_bzu = k₀ ε_b0,                                            (18)

где   e_b0 – величина относительной деформации бетона в вершине диаграммы «s_b-e_b» при осевом сжатии и однородном напряженном состоянии бетона, принимаемая равной 0,002 при непродолжительном действии нагрузки и по СП 52-101-2004 – при продолжительном действии нагрузки;

k₀ – коэффициент, учитывающий неоднородное напряженное состояние бетонного ядра ТБК.

Коэффициент k₀ для условий трехосного сжатия s₁ = s₂ > s₃ и простого режима нагружения (при сохранении постоянного соотношения между напряжениями) можно вычислять согласно рекомендациям европейских норм [1]. В ТБК реализуется сложный режим загружения, характеризующийся не пропорциональным ростом напряжений s₁, s₂, s₃. В процессе увеличения внешней сжимающей нагрузки постоянно растут по модулю осевые напряжения s₃ = s_bz. Напряжения трансверсального направления в квазиупругой стадии работы близки к нулю или даже могут иметь незначительное растяжение. С образованием микротрещин в бетоне они меняют знак и в предельном состоянии достигают максимальной сжимающей величины – s_bru.

Такой режим нагружения приводит к снижению значения относительной деформации ε_bzu в вершине диаграммы «s_bz — e_bz» по сравнению с простым режимом. Для учета данного обстоятельства с помощью компьютерной программы «Microsoft Excel» были обработаны результаты экспериментов 75 опытных образцов ТБК и получена следующая формула

Ограничение k₀ £ 2 рекомендуется вводить для исключения чрезмерных деформаций трубобетонных колонн.

Значения коэффициентов упругости ν_bi и поперечных деформаций m_zr в матрице податливости системы (1) определяют величину деформаций вдоль одного (осевого или трансверсального) направления, обусловленных напряжениями другого направления (соответственно трансверсального или осевого). Для их определения рекомендуется использовать величины интенсивности напряжений s_bi и интенсивности деформаций ε_bi.

Из положений механики твердого тела [7] известно, что интенсивность напряжений является вполне определенной независящей от вида напряженного состояния функцией интенсивности деформаций s_i = F(ε_i). Поскольку функция F(ε_i) зависит только от материала, то любой вид объемного напряженного состояния в области упругих, упругопластических и пластических деформаций можно свести к простейшим видам напряжения, построив соответствующую кривую s_i = F(ε_i).

Для бетона воспользуемся рекомендуемой нормами зависимостью «s_b – ε_b» при одноосном сжатии. Соответствующая зависимость между интенсивностями напряжений и деформаций может быть записана в таком же виде

s_bi = ν_bi E_b ε_bi.                                             (20)

Запишем выражения для определения s_bi и ε_bi применительно к ТБК, имеющим круглое сечение

где   D₂ и D_2ε – вторые инварианты девиаторов напряжений и деформаций.

Подставив в уравнение (20) выражения для определения s_bi и ε_bi, получим формулу для вычисления относительной радиальной деформации в предельном состоянии бетонного ядра ε_bru

В формулах (16), (17) и (23) предельное значение коэффициента упругости ν_biu в первом приближении может быть принято равным ν_bzu. В ходе дальнейших расчетов это значение уточняется.

При расчете ТБК по нелинейной деформационной модели в качестве расчетных диаграмм состояния стальной оболочки и продольной стержневой арматуры рекомендуется принимать криволинейные диаграммы. Допускается в качестве расчетных диаграмм состояния стальной оболочки и продольной стержневой арматуры принимать двухлинейную диаграмму в соответствии указаниями СП 52-102-2004. Диаграммы состояния стали при растяжении и сжатии принимают одинаковыми.

В сжатой зоне ТБК стальная оболочка работает в условиях сложного напряженного состояния. Чтобы построить для нее расчетную диаграмму состояния воспользуемся известной гипотезой единой кривой, предложенной А.А.Ильюшиным [2]. Согласно этой гипотезе, зависимость между напряжениями и деформациями «s_s,p-e_s,p», полученную при одноосном растяжении, можно считать действительной для всех напряженных состояний при замене текущих напряжений s_s,p и текущих деформаций e_s,p на интенсивность текущих напряжений s_s.pi и интенсивность текущих деформаций e_s,pi соответственно.

В нашем случае мы рассматриваем напряжения и деформации, возникающие по главным площадкам, т.е. касательные напряжения и сдвиговые деформации здесь равны нулю. Тогда выражения для определения интенсивности напряжений и деформаций записываются в следующем виде:

Связь между деформациями и напряжениями для любой точки внешней стальной оболочки в упругой и упруго-пластической стадиях описывается системой уравнений:

где   s_pz, s_pt, s_pr – нормальные (главные) напряжения в трубе в продольном, тангенциальном и радиальном направлениях;

e_pz, e_pt, e_pr – относительные деформации стальной оболочки по соответствующим направлениям;

Е_s,p – начальный модуль упругости стали;

ν_p – коэффициенты упругости стали;

μ_p – коэффициент поперечной деформации стали трубы.

При наличии в бетонном ядре стержневой арматуры связь между нормальными напряжениями в ней s_s и относительными деформации ε_s описывается известной зависимостью

s_s = Е_s e_s ν_s,                                               (27)

где   ν_s – коэффициент упругости арматуры.

При криволинейной диаграмме для вычисления коэффициентов упругости стальной оболочки ν_p и арматуры ν_s можно принимать любые известные зависимости, аналогичным принятым для бетона [6].

Для вычисления коэффициента поперечной деформации стальной оболочки m_p предлагается следующая формула

m_p = 0,5 – (0,5 – m₀)( ν_p – ν_pu)/(1 – ν_pu),                         (28)

где   ν_pu – значение коэффициента упругости, соответствующее расчетному значению сопротивления стали;

m₀ – коэффициент Пуассона для стали.

В результате каждому значению относительных деформаций осевого направления e_bi, e_pk и e_s, которые в процессе расчета постепенно увеличивают с заданным шагом, устанавливают соответствующие величины напряжений s_bi, s_pk и s_s. Только после этого переходят ко второму этапу расчета, суть которого изложена выше.

Таким образом, получена методика построения аналитических зависимостей, устанавливающих связь между напряжениями и деформациями осевого направления в бетонном ядре и стальной оболочке. Это позволяет реализовать нелинейную деформационную модель железобетона при определении прочности внецентренно сжатых ТБК.

 

Библиографический список

 

1. Еврокод 2. Проектирование железобетонных конструкций. Часть 1.1: Основные правила и правила для зданий / Пер. с англ. Под ред. А.С. Залесова. – М., 2003. – 232 с.
2. Ильюшин А.А. Пластичность. – М.: Гостехиздат, 1948. – 376 с.
3. Кришан А.Л., Сагадатов А.И., Гареев М.Ш. Предварительно обжатые трубобетонные элементы кольцевого сечения // Бетон и железобетон, 2008. №4. С.7-11.
4. Кришан А.Л. Новый подход к оценке прочности сжатых трубобетонных элементов // Бетон и железобетон, 2008. №3. С.2-5.
5. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона. – М.: Стройиздат, 1996. – 416 с.
6. Мухамедиев Т.А. Методы расчета статически неопределимых железобетонных стержневых и плоскостных конструкций с учетом нелинейных диаграмм деформирования материалов и режимов нагружения: : Дисс. … докт. техн. наук. – М., 1990. – 227 с.
7. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. – Киев, Наукова думка, 1976. – 416 с.
8. СП 52-101-03. Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения арматуры. – М.: Госстрой России, 2003. С.131.